【正文】
               
【内容摘要】：在求解变量范围时如果利用基本不等式求解，则只能求出范围的一侧，不能求出范围，我们可以将其转化利用三角换元或三角题求解.
【关键词】:   范 围   三角换元     
    在高三复习阶段我们经常碰到这样的问题，不是去求一个式子或是一个变量的最大值或是最小值而是去求范围，往往这样的问题用基本不等式只能求解一侧，至于另一侧却叫人无从下手，笔者发现可以将一些问题转化为三角题求解，下面我们通过几个例子探讨一下.
例1.在中，角的对边分别为，且成等差数列.
(1) 求角的值;
(2) 若,求周长的取值范围.
解：1）成等差数列，

由正弦定理，得

在中，，，，即
又，
2）在中，由正弦定理，得，
，同理，，
的周长


，， 
，
这一题如果我们只是由周长想到去求解,而去求解时仅从余弦定理入手,则有一侧的范围无法确定.
例2.设的三个内角对应的边为，若依次成等差数列且，则实数的取值范围是____________．
解:依次成等差数列，,
,
即,
又得,
综上:
对于这样一道题,我们往往在的左侧范围求解时出错,只想到,但用三角解就不存在这样的问题.
由及三角形可知,令(其中)
由得
,即,由得
,得

用三角换元就不用考虑左侧范围,可以直接求得.
例3.在中,设为边上的高且,分别表示角所对的边长,则的取值范围是              
解:,
又
(其中)
过点作垂足为
设
如图1：在中
在中


若在线段外，如图2（若在另一侧情况一样）同理可得
令，由得
由题：，
，
，
本题在求好范围后就无需考虑范围左边的情况了，虽然很容易由用基本不等式得到.
例4.已知函数,若,且,求的取值范围.
解:由得,
                  
又
得
这样就转化为了一个线性规划题.
下面我们作出可行域,由此我们得出图中阴影部分中的圆上的一段圆弧,
可设(其中)
(其中)
由得
,
,,故,即在内
,


的取值范围为
   通过上面的例子我们可以看到在求取范围问题时利用三角换元法有着我们想象不到的便利,所以我们今后遇到此类求解范围问题时可以试着从三角换元入手,既能求出范围也能求其最值.