【正文】

最近，笔者在备课过程中发现了一道有关椭圆的试题，仔细研读发现，该题可以从不同的视角给出了多种解法，并在探究的过程中也发现了有关圆锥曲线的几个性质，现将研读成果整理成文，方便与各位同仁一起分享这些优美的结论，若有不妥之处，还望各位老师批评指正。

一、解法赏析

    题目  已知F₁、F₂分别为椭圆＝1(a＞b＞0)的左右焦点，经过椭圆上第二象限内任意一点P的切线为l，过原点O作OM∥l交F₂P于点M，则|MP|与a、b的关系是
    (A)|MP|＝a          (B)|MP|＞a          (C)|MP|＝b          (D)|MP|＜b

该题是一道高三模拟题，也是一道集椭圆、导数、切线、直线等知识点为一体的综合题，既考查了考生对圆锥曲线第一、二定义、部分结论的掌握情况，又考查了考生的计算能力、灵活处理问题的能力，不难发现，该题的结论具有一般性，但考生要解出该题，必须花大量的时间。那么，如何用较为简便的方法解出该题呢？这是笔者在研读时所思考的问题，探究过程中从不同的视角给出了解析，解析如下。

该题的结论具有一般性、探究性，但对考生而言，作为一道选择题在考场上是不值得花太多时间去求解，为了节省时间，可以从特殊情况入手。即解法1。

视角1 考虑特殊情况

解法1 设椭圆的左顶点为A，上顶点为B；

当P点接近于A点时，切线l接近于直线x=-a，此时，M点接近于原点O，易知，接近于a，特别地，当P点与A点重合时，|PM|＝a。

当P点接近于B点时，切线l接近于直线y=b，此时，M点接近于原点F₂，易知，接近于，特别地，当P点与B点重合时，。答案：A。

评析：从"特殊到一般"是数学上常用的一种思维方法，也符合当前中学生的认知规律，需要强调的是：为了提高解题的正确率，在考虑特殊情况时，最好取两组特殊值（点），以检验答案是否正确。从特殊情况入手，对求解选择、填空题而言，为考生节约了大量的时间；对求解大题而言，为考生寻找问题的突破口指明了方向，例如：2015年高考数学四川卷理科20题的突破口就是从特殊情况入手。

为了合理的证明结论，先设出P点坐标，结合条件，求得OM的直线方程，进而求出M点坐标，利用两点间距离公式求得|PM|。

视角2 熟用距离公式

解法2  如图，设，因为P点在椭圆上，所以，过P点的切线方程为，因为直线，所以直线OM的方程为，

y

D

N

x

F2

M

C

P

F1

A

B

O

因为，所以直线PF₂的方程为，联立

解得

 

 

。

所以|PM|＝a。

    视角3 巧设参数方程

解法3  设点，则过点P的切线方程为，切线斜率为，因为OM∥l，所以直线OM的方程为，又因为的直线方程为，联立方程

解得，

因此，化简得，即|PM|＝a。

评析：解法2、3思路清晰，容易入手，较为常规，学生容易掌握，但是计算量较大，容易出错，可谓“一着不慎满盘皆输”，为此，引入解法4、5.

 

视角4 巧用几何关系

解法4  设切线l与x轴交于点C，因为切线方程为，所以C点坐标为，因为直线，所以全等，，由椭圆焦半径公式知，解得|PM|＝a。

评析：对比解法2、3、4，不难发现，解法4计算少，但想得多。解题者需充分利用题干中的已知信息，寻找几何关系，化繁为简来求得答案。

 

    事实上，由焦半径公式知，为此，如果能求出，便可求得，又，所以很自然就想到对三角形中利用正弦定理、或余弦定理。即解法5.

    视角5 巧用正弦定理

解法5  如图，设直线，则，在三角形中利用正弦定理可得，即

解得，分子分母同时除以，

可得

    由解法3知，，已知，代入上式可得，由焦半径公式知，所以，|PM|＝a。

评析：事实上解法4、5计算较少，但想得较多，体现了命题人“多一点想，少一点算”的指导思想。正、余弦定理主要用来解决三角形中的常见问题，因此圆锥曲线中使用该定理时应先构造三角形，以期搭建已知与未知之间的桥梁，从而得到问题的解决方案。需要说明的是：对圆锥曲线的考查往往与直线相结合，因此在处理问题的过程中，需要求出直线倾斜角的正弦、余弦值，进而利用正余弦定理。

本题中，过原点O作OM∥l交F₂P于点M，得出结论。由椭圆的定义知，如果将上题改成过原点O作OM∥l交F₁P于点N，又有怎样的结论？进一步探究得出如下结论。

二、结论推广

    性质1 已知F₁、F₂分别为椭圆的左右焦点，经过椭圆上任意一点P的切线为l，过原点O作OM∥l交F₂P、F₁P分别于点M、N，则

(1)、；

(2)、。

    （1）证明：由解法1、2知，当P点为椭圆上任意一点，均有|PM|＝a。下面我们讨论.

当P点为椭圆长轴上两端点时，有|PM|＝a；当P点不为椭圆长轴上两端点时，因为直线，所以全等，，变形得，即，由椭圆焦半径公式知，解得。综上可得。

    （2）证明：由椭圆定义知，因为，所以。

    性质2 已知F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，经过双曲线上任意一点P的切线为l，过原点O作OM∥l交F₂P、F₁P分别于点M、N，则

（1）、；

（2）、。

性质3 已知F为抛物线的焦点，经过抛物线上任意一点P的切线l交x轴于点C，过原点O作OM∥l交FP于点M，则。

性质2、3的证明同性质1，有兴趣的读者可以自行证明。

    解题是数学学习必不可少的过程，通过一题多解，多题一解将所学的知识串起来，才能做到活学活用，理解课改教材板块与板块之间的联系，使自己获得数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.