【正文】  比例的知识是小学内容，其运用相当广泛，在教学和解题中若能有效地运用“比例”思想和方法，可以对许多数学知识有新的发现，诸多数学问题多一个解决的利器。下面谈谈我的一点浅见。
　　一、数与代数方面的运用
　　1、用“比例”消元
　　如x:y:z=1:2:7    ①2x-y+3z=2　②，若按照一般的方法消元，运算量会大一点，若换一个角度，由①式顺势而设x=t，y=2t，z=7t(t≠0)，代入②式就转化成关于的一元一次方程，从而达到了消元的目的。
　　2、用“比例”对形如■=■的分式方程变形
　　把■=■中的分数线看做比例符号，原方程可转化成。
　　3、用比例思想巧设元
　　① 应用题中若出现甲未知量是乙未知量的几倍或几分之几的数量关系，我们可把“倍分”关系转化成比例关系设元。
　　例1：父子今年共47岁，14年后父亲年龄是儿子年龄的2倍，求父子今年的年龄分别为多少？
　　解：设这对父子14年后的年龄分别是2x岁、x岁，可得：(2x-14)+(x-14)=47；该题设元方法较多，但运用比例关系设元则更简单。
　　例2：甲、乙二人环湖同向竞走，环湖一周400米，已知甲的速度是乙的■倍，甲在乙的前面100米，经过15分钟两人第一次相遇，求甲、乙二人的速度分别是多少？
　　解：设甲、乙二人每分钟分别走5x米、4x米，则可得：15(5x-4x)=400-100；此题与上题略有区别，但本质上是一样的。
　　② 配套问题的等量关系看似明显，但学生常常因为不清楚配套关系的实质而不会列方程或列错方程，若用比例思想去分析，就能化繁为简。
　　例3：（宜宾2019年春七数）某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？
　　分析：把“3个大齿轮和2个小齿轮配成一套”转化成“大齿轮数量：小齿轮数量=3∶2”，则可使得方程中的等量关系更明显。
　　解：设安排x名工人生产大齿轮，安排(34-x)名工人生产小齿轮，可得20x:15(34-x)=3:2，化简得2×20x=3×15(34-x)；
　　用比例关系巧妙解决代数问题的例子还很多，以上不过是“牛刀小试”，这样的例子在物理、化学等学科中运用很多，此处就不赘述了。
　　从本质上讲，比例就是两个或多个量之间的一种固定的数量关系，它们相互依存，可由“此”而及“彼”。初中阶段分析和解决直角三角形有两大工具：一个是勾股定理，另一个是三角函数，若我们用“比例”的眼光去观察，可以看出它们的内在联系和统一的关系。
　　比例的方法和思想在解决几何图形中的运用上主要体现在以下几个方面：
　　① 用比例关系迅速定“形”
　　由勾股定理及其逆定理我们可得到如下结论：如果一个三角形是直角三角形，那么两直角边的平方和一定等于斜边的平方，体现在数值上就是三角形三条边的长度一定是勾股比例数，如3∶4∶5 、 5∶12∶13、1∶■∶2 、 1∶1∶■，……（注：①根据定义1∶■∶2这样的数不是勾股数，本文约定称为勾股比例数，②文中三角形各边遵循最短边∶较长边∶最长边的顺序。），显然该结论的逆命题也成立。这就为我们判断一个图形是否是直角三角形提供了一个重要的方法，同样道理，在判断三角形是否相似时，也可用这个方法去检验。
　　如边长分别为1.5cm、2.5cm、2cm的三角形一定是直角三角形，而三边长为12cm、15cm、18cm的三角形就肯定不是直角三角形，就不用按部就班地用勾股定理去计算了。同样我们也可以判断上面这两个三角形不相似。
　　② 用比例关系迅速定“值”
　　数学中常常有大量的计算，学生有时花了大量的时间却得到一个错误的结果。若能灵活地利用比例方法去解答问题，可起到“事半功倍”的效果。
　　例4：（改18枣庄12题）在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为                            。
　　此题参考答案是过点F作FG⊥AB，证明CE=CF=FG，固然很好，但稍显麻烦些。不妨过点E作EG⊥AC，由角平分线性质得EG=ED，先计算出CD=2.4，再由△CGE∽△BCA且■=■=■得到CE+GE=2.4，列出方程3x+5x=2.4，可迅速得出CE=1.5。
　　例5：（改17绵阳11题）Rt△ABC中，∠B=300，点O是△ABC重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作FE⊥AB交BC于点F，连接AF交于CE点M，则■的值为                              ；






















　　该题有一定难度且没有告知图中线段的长度，可采用特值法设EF=1，再用勾股比例数分别得出MF=■，MO=■，从而得到■■。
　　用比例的思想可以让我们省去了许多繁琐的证明和计算。在解答题中也可以大大提高计算和解题速度，举一例简述如下：
　　例6：（18泸州22题）甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90米，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得点D的仰角为30°，测得点C的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示）．
　　此题计算量不小，若用勾股比例数1∶■∶2的比例关系去求值再辅之于规范的解答过程，就能迅速得到解决（具体过程从略），
　　由此，我们不难发现等腰三角形、直角三角形和相似三角形相关的问题，大多可用比例的思路和方法去解决。
　　③ 用比例关系确定解题方向
　　（2018重庆A卷）如图，在□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB=AE，连接EO并延长AD交于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
　　（1）略；
　　（2）若∠ACB=450，求证：DF=■CG．







　　该题的第（2）问的待证结论可转化为■=■，结合∠ACB=450这个条件，这就暗示了证明方向必然是构造等腰直角三角形求解，则辅助线的添加方法就很清楚了（分别过点A、G作BC的垂线）。
　　④ 用比例关系有效地进行分类讨论
　　各地历年的中考数学题中，分类讨论的题目层出不穷且常出现在压轴题中，并以等腰三角形、直角三角形或相似三角形的形式出现，利用比例方法进行讨论可做到“不重不漏易排除”。
　　（2018达州）如图，抛物线分别经过原点O(0,0)，点A(1,1)，点B(■,0)．
　　（1）略；
　　（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
　　（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．









　　在第（3）问中，我们只需抓住Rt△OAC中■=■这一关系不放，则Rt△OAC与Rt△OMN相似必然只有■=■和■=■这两种情形，分别进行讨论并计算即可。当然由于点可能在一、四两个不同的象限，综合起来共有四种情形，经过计算发现有一种不符合题意，舍去即可。用这样的方法去分析和讨论，极大地提高了解题的效率。
　　在统计与概率中，比例的思想也有所体现，但主要集中在计算方面，此处就不展开分析讨论了。
　　通过上面的分析，大家可以发现比例的思想和观念对我们学好数学是多么重要了。有效地利用比例及其性质来分析教材，并灵活地渗透在解决问题中去一定可以让学生克服学习数学的枯燥与乏味，让他们在学习数学时“如虎添翼”，并逐渐爱上这门学科。