——人教版六上“数学广角”单元整体设计的实践研究

  “数与形”是人教版六年级上册第八单元《数学广角》的内容。
　　什么是数形结合？
　　数学家华罗庚有过非常精辟的诠释。
　　“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”
　　形对于数，数对于形两方面的功能得到了高度的概括。在小学数学教学实践中，我们正是从形对于数的直观性，数对于形的深刻性这两方面，发挥数形结合的作用。由此，数形结合既是研究，探索数学的一种思想方法，把数与形结合起来，解决问题，可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。
　　【学生学情分析】
　　小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。为了使学生更直观地理解知识，同时又满足学生发展逻辑思维能力的要求，教科书在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，整个单元需要真正把形象真正放在“支撑”地位，从而达到为培养学生的逻辑能力而服务目的。
　　【单元整体分析解读】
　　原本单元的教学内容分为两个层次：
　　1、使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。便如，例1中，从图形的角度直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。
　　2、借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题，使学生直观地理解“无限”的抽象概念。
　　其实，早在小学二年级数奥第四讲：数与形相映。就有关于数与形的基础渗透。
　　横向，从内容看这单元，数与形相结合的例子在小学数学教学中比比皆是。比如：
　　1.利用长方形模型来教学分数乘法的原理。
　　2.利用线段图来帮助学生理解分数除法的原理。
　　3.利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。
　　4.解析几何与微积分中，曲线与方程、方程组及函数与图象互为工具，互为解释，有机融合。所以，小学中的正比例和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。
　　纵向，从深度看这单元，除正方形数和平方数，还有三角形数，五边形数和六边形数……。毕达哥拉斯学派还对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：
　　所以，在具体教学中，怎么创设才有利于促进各层次的学生加深对数与形的学习与理解？如何才能突出探索规律、应用规律的编排意图？
　　基于以上，本单元的教学目标设计如下：
　　【总单元教学目标】
　　1、了解形和数之间的密切联系，让学生学会自主探索图形中隐藏着的数的规律，从简到难，从形象到抽象。
　　2、使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。
　　3、使学生在解决问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
　　【内容安排及特点】
　　通过梳理，把本单元分成三个部分，共三个课时。这三个课时之间，有着紧密的联系。前一个课时是后一个课时的学习基础。
　　第1课时：最初的数和最简的图相对应.
　　阐述形和数的密切联系，在古代就被人们注意到了。
　　古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子。我国在春秋战国时代就有了“洛图”，图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数。偶数用实心点表示，奇数用空心点表示。古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘。比如他把1，3，6，10，15……叫做三角形数，因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形。
　　编写意图：
　　在数学史上，最早把正整数和几何图形联系在一起的数学家是古希腊时期的毕达哥拉斯，他发现沙滩上的小石子能够摆成不同形状的几何图形，因此把数与图形结合起来研究。通过将正整数和正三角形、正方形等图形联系起来，将数分为三角形数、正方形数等，平面的多边形数甚至推广到空间立体数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了。
　　第2课时：正方形数与三角形数的联系。
　　作为一类特殊的正整数，正方形数有许多有意思的结论：
　　1、任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和。
　　2、任何一个非零平方数都可以表示为从“1”开始的连续奇数之和的形式。
　　3、奇偶平方数的有趣性质
　　4、任何一个非零偶数的平方数都可以表示为首项为4，公差为8的一串数之和的形式。
　　5、任何一个奇数的平方都可以表示为从1开始，然后依次是8的连续倍数的几个数之和的形式。
　　6、连续整数的和：平方数还可以表示成连续整数的和的形式。
　　并且拓展达哥拉斯学派还对”数”与”形”的巧妙结合。三角形数，正方形数，五边形数，六边形数。
　　编写意图：既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽象，形成模式，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。显然，这样的一个教学过程，既是学生自主探究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化的过程体会与领悟推理和数形结合的思想。
　　第3课时：解决的求和问题。
　　“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”。从而进一步感受到“化数为形”的直观、形象、简捷特点。
　　编写意图：在学生观察到加数与和的规律的基础上，使学生明白用省略号表示“像这样加下去”，并发现这些数的和越来越接近于1。但这个越来越接近于1的数是多少呢？就为下面用图形解决问题提供了探索和思考的机会。
　　本单元的整体编排，丰富和拓展了形中有数，数中有形，数形相关。引导学生体会数形结合思想的广泛应用，体会用图形解决问题的直观性和便捷性。