【正文】

如果已知数列的首项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。在处理递推公式时核心在于明确对象，需要根据递推的表现形式结合所研究的通项相邻的“结构”。首先，观察是否具有已掌握的递推形式；其次，比对数据观察相邻项“结构”，并尝试凑出相邻项；最后，没有思路的情况下尝试求得前几项再探究规律。下面将对常见的几种递推公式处理方法加以说明。

一．涉及  型递推.

1.以为对象研究相邻项，利用转化为只含 的关系式，再求解.

2.以为对象研究相邻项，可利用转化为只含的关系式.

 3.以省略号形式出现，可观察发现属的关联通项的前项和，构建省略号前项和联立.

例1.(1)记为数列的前项和,若，求数列的通项公式.

(2)记为数列的前项和,已知．且满足，求数列的

通项公式.

(3)已知数列满足，求数列的通项公式.

解:（1）当时，，   解得 ，

当时，  根据  ，可得， 

两式相减可得  ，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.

∴.

（2）当时，  ∴

则当时， ，所以是等差数列，首项，公差为2，

所以则  .

（3）当n＝1时，由已知，可得，

∵，                  ①

∴，            ②

由①－②得，

∴.

显然当n＝1时不满足上式，

∴

变式提升

已知数列，满足，求数列的通项公式.

解：由已知有：，

当时， ，

又由   ①  有：

当时， ②

由①式除以②式可得：   

当时， 不满足上式，

所以  

二. 型递推.

当 时，利用恒等式  求通项公式的方法叫做累加法，其中可求前n项和.特别注意能消去多少项，保留多少项，最后还要检验是否满足上述形式.

例2.已知数列，满足，求数列的通项公式.

解：数列中，      即：

由 

可得

当 时， 满足上式，所以.

三．型递推.

当时，利用恒等式求通项公式的方法叫做累乘法,其中可求前n项的积.还需注意在化简时分子分母剩余项数具有对称性.并注意n＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．

例3.已知数列中，求数列的通项公式.

四．.分式型递推：形如可两边取倒数

延伸去分母形成：可两边同除以乘积项.

例4：(1)（2017云南昆明第一中学月考） 已知数列满足 .  

     证明数列是等差数列，并求数列的通项公式 .

（2）已知数列满足 .  

     求数列的通项公式 .

解：（1）因为   所以  又因为

故数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以 所以  .

(2) 由已知有，将等式两边同时

除以 得       

故数列是以为首项，2为公差的等差数列，

      所以  ，  所以 .

五. 线性组合型递推：形如.

可用待定系数法设为求解，基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列.

注意延伸类递推中相邻项的变换，可变形观察待定系数 .

例5：（1）（衡水高考调研）已知数列中，，求数列的通项公式 .

（2）（衡水高考调研）在数列中，，求数列的通项公式 .

解：（1）设即 ，

故递推公式为 ，令  则=4， 且   

所以 是以为首项，为公比的等比数列，

则  ， 所以.

    （2）方法一：原递推公式可化为①

 比较系数得  ①  式即是：.

则数列   是一个等比数列，其首项 ，   公比是   .

.

即.

方法二：将        的两边同时除以.

得： ，     令

则   ，设 ， 

由对比系数有 ，所以.

所以数列是以  为首项，  为公比的等比数列.

所以

即：.

变式提升

1.（2020全国Ⅲ理17题）设数列{a_n}满足a₁=3，．

（Ⅰ）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

（Ⅱ）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）由题意可得，，

方法1（待定系数法）

方法2（数学归纳法）由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

2.（人教A版必修5教材复习参考题）

已知数列中，，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？   

六.利用通项的关联项结构

通项的关联运算要注意相邻项的运算结构保持一致，有时又叫“结构”法. 如第项含某种“结构”则其相邻的第项，第项都会可表示出相应的那种“结构”. 常见类型如下：

(1)等差数列与等比数列的证明与判断问题可以通过定义法来研究，也可利用“结构”法进行关联拼凑实现；

(2)分段数列的递推公式有时给出的相邻项应利用“结构”法去转变为隔项关联关系解决.

七.利用不完全归纳法

在递推公式不满足上述几种方法时，可利用已知递推公式求出该数列的前几项来进行不完全归纳寻找规律，常见项数分组成规律、周期性规律、隔项规律等等.

（2）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则________

答案：

解析：列举出前几项，可以得到如下规律：

     ①奇数项：

②偶数项：

所以:是奇数项中的第1011项，于是  .

（3）已知数列满足，，则________

答案：0．

解析：由已知递推公式结构可联想到两角和与差的正切公式

以上所介绍的处理递推公式的方法，是本人在多年的教学过程中所积累的。同时也不断的在教学过程中实践，完善，再实践，再结合近几年各省份高考试题，各种大联考试题的递推公式考查情况，而总结出来的一些较为常见的递推公式的处理方法。当然，还有很多不成熟，不完善的地方需要再继续努力研究，学无止境。